一、引言

实变函数是高校数学专业的一门重要的基础课程，由于其高度的抽象性以及这些年高校扩招生源情况变化很大水平参差不齐，给这门课的教与学带来了诸多新的问题和挑战。

下面，笔者结合自身的教学实践，就学习实变函数的意义、其研究对象、特点及其如何教与学等方面谈一点粗浅的认识。

二、学习实变函数的意义

实变函数形成于19世纪末20世纪初，起源于古典分析学，是一种比较高深精细的理论，是现代数学的一个重要分支。一方面它是古典分析学的继续、发展、深化和推广，对初等数学也有极强的指导作用，另一方面它还研究更为广泛的函数，得到了较古典分析学更为深刻更为一般的结论，它的观念和方法以及广泛的应用对许多现代数学分支如现代概率论、现代控制论、微分方程、泛函分析等的形成和发展起着极为重要的影响，它在各个分支的应用是现代数学的特征，可以说实变函数是现代数学的重要基础，扮演者承上启下的角色。我们还应该看到，学好实变函数所获得的不仅是必要的知识基础而且是理性思维的一次良好的训练。这正是我们学习实变函数的意义所在。

三、实变函数研究的对象和特征

以实数为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支叫做实变函数论，它是数学分析的进一步发展，是在点集论的基础上研究分析数学中的一些基本的该概念和性质，如点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。

实变函数起源于古典分析而不同于古典分析，古典分析学所讨论的函数都是性质良好的函数（如往往假设函数连续或只有有限个间断点），而实变函数讨论更一般从古典分析学角度看是那些性质不好的函数。它所得到的有关结论自然的也适用于性质良好的函数，所以实变函数是古典分析学的深入和发展且更加抽象思维更加严密逻辑性更强。

四、教的问题

由于实变函数课程具有概念性强、内容抽象、推理严谨等特点，是数学专业课中公认的既难教亦难学的一门课程，因此作为一个讲授此课程的教师，首要的任务是要先搞清为什么教，其次是研究如何教。

（一）为什么教

可参见前面学习实变函数的意义，这里不再赘述。

（二）如何教

1.教学观念更新化

我国在中小学开展教学改革已有多年，取得了一些成绩，然而对高等学校却触动不大，目前高等学校教学中普遍存在着“满堂灌”，重“知识”而轻教学，当然原因是多方面的，高校的教改是一个庞大而又复杂的系统工程，不是少数学校和个人就能解决的，我们只能从个别课程教学方法的改革入手进行探索，逐步总结经验。笔者认为，首先教师在传授书本知识的同时要兼顾对学生分析思维能力和解决问题能力的培养，其次在实际教学中，要树立学生的主体地位，引导学生独立思考，自主学习，通过充实和丰富课堂内外的各种教学活动，是学生由被动的接收者转变为主动地参与者和积极地研究者。

2.教学内容趣味化

实变函数中概念抽象许多定理的结论以及证明过程和以前课程相比显得很别致甚至是很诡异，教学过程中若过于坚持严谨会使学生产生厌倦，学生不但失去兴趣还会知难而退甚至选择放弃，使教学效果大打折扣，因此在不失严谨性基础上，对教学内容趣味化，会起到事半功倍的效果

（1）严谨的数学语言通俗化

叶果洛夫定理和鲁金定理的内容学生理解上困难较大，教学中用如下通俗语言说明此两定理，在有限测度集合上的几乎处处收敛函数一定是差不多一致收敛，几乎处处有限的可测函数其实差不多是连续函数。

一个通俗的差不多就形象的解释了一串枯燥的数学语言使得命题 P在E0上成立，更加深了学生对定理的理解。

再如引入勒贝格积分时借用当年勒贝格自己的形象比喻，我必须偿还一笔钱，如果从口袋里随意的摸出各种不同面值的钞票，逐一的还给债主，直到全部还清，这就是黎曼积分，不过我还有另外一种做法，就是把钱全部拿出来，把相同面值的钞票放在一起，然后再偿还应还的数目，这就是我的积分。这个形象的比喻容易记忆且也反映了勒贝格积分的基本思想。

（2）枯燥的数学内容趣味化

①通过类比与联想激发学生兴趣

文章来源：《化学教与学》 网址: http://www.hxjyxzz.cn/qikandaodu/2021/0331/807.html